Consigne: Montrer que \(v_1,\ldots,v_n\) est une base si et seulement si \(\operatorname{Det}_{(e)}(v_1,\ldots,v_n)\neq0\)

Pas une base \(\to\) combinaison linéaire
Si \(v_1,\ldots,v_n\) n'est pas une base, alors l'un des \(v_i\) est une combinaison linéaire des autres $$v_i=\sum_{j\neq i}\lambda_jv_j$$

Opération élémentaire : on annule ce vecteur
Opération élémentaire : on pose $$w_i=v_i+\sum_{i\neq j}(-\lambda_j)v_j=0$$

Le déterminant étant \(n\)-linéaire, il est donc nul
Alors $$\begin{align}\operatorname{Det}_{(e)}(w_1,\ldots,w_n)&=\operatorname{Det}_{(e)}(v_1,\ldots,v_n)\\ &=\operatorname{Det}_{(e)}(v_1,\ldots,v_{i-1},0,v_{i+1},\ldots,v_n)\\ &=0\end{align}$$

Supposons maintenant que \(v_1,\ldots,v_n\) est une base
Prenons \(w_1,\ldots,w_n\in E\) quelconques
Alors il existe \(y_{ij}\in{\Bbb R}\) tq $$w_i=\sum^n_{j=1} y_{ji}v_j$$

\(\operatorname{Det}_{(e)}\) étant \(n\)-linéaire et anti-symétrique, on a alors : $$\operatorname{Det}_{(e)}(w_1,\ldots,w_n)=\operatorname{Det}(v_1,\ldots,v_n)\cdot\operatorname{Det}(y)$$

Revenir aux vecteurs unitaires, pour lesquels \(\operatorname{Det}_{(e)}=1\)

On prend \(w_i=e_i\)
Alors $$1=\operatorname{Det}(e_1,\ldots,e_n)=\operatorname{Det}_{(e)}(v_1,\ldots,v_n)\cdot\operatorname{Det}(y)$$
Donc \(\operatorname{Det}_{(e)}(v_1,\ldots,v_n)\) est non nul

(Combinaison linéaire, Opération élémentaire sur une liste de vecteurs)